山下（Seamless）
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英ロンドン・スクール・オブ・エコノミクスに所属する研究者ブライアン・ロバーツ氏が発表したプレプリント論文「Heat as a gauge connection」は、熱力学とゲージ理論が同じ数学的構造で記述できることを示したとする研究報告だ。
ポイントは熱の扱い
ゲージ理論は、「観測できる部分」と「その背後に隠れた部分」を分けて扱う、電磁気力などを記述するための数学的な枠組みである。観測できる量の空間を土台とし、その各点の上に隠れた自由度を積み上げたうえで、土台の上を動いたとき隠れた部分がどう変化するかを定める規則（接続）を考えるのがその基本構造である。
一方、誕生から約200年の熱力学では、ピストンを押すといった装置の操作によって取り出せるエネルギーを「仕事」、そうした操作では直接触れられない残りのエネルギーを「熱」とみなす。
ロバーツ氏は、ピストンをどこまで押し込んだか、という「操作できる量」を土台（横軸）に、土台の各点の上にシリンダー内の気体のエネルギーを縦軸として積み上げる形で熱力学を整理した（ラインバンドル）。ここでいう土台とは物理的な台座のことではなく、例えばピストンを0cmから10cmまで押し込める装置なら、0から10までの数直線そのものを指す。
整理した結果、この構造がゲージ理論の数学と形の上で一致することが分かったとしている。ポイントは熱の扱いである。ゲージ理論には、土台の上を動いたとき（ピストンを押し込んだり引き戻したりした時）に隠れた縦方向がどれだけ変化するかを定める「接続」という規則があるが、熱の出入りはまさにこの接続の役割を果たすという。
つまり熱とは、ピストンの動きだけでは説明のつかないエネルギーの変化（縦のズレ）を追跡する規則だと言い換えられる。この見方では、熱の出入りがない変化（断熱過程）は、縦のズレを生まずにまっすぐ進む動き方に対応する、というのが論文の主張だ。
さらに、温度やエントロピーといった熱力学の基本量が局所的に存在する条件も、ゲージ理論における曲率がゼロ（土台の上で小さな輪をぐるっと一周して元の場所に戻ってきたとき、隠れた縦方向も元の値に戻ってくる）という幾何学的な条件として言い換えられることが、論文では示されている。
ヤウホの証明に半世紀越しの解決？
物理学者ヤウホは1970年代、熱を出さずに装置を元の配置に戻すサイクルでは、仕事も発生しないという保存則だけからエントロピーと温度を導けると予想したが、ヤウホ自身の証明には誤りがあったとロバーツ氏は指摘している。
そしてロバーツ氏はこの保存則が、幾何学においては、一周して戻る道筋がきちんと閉じるという条件にあたることを見抜き、予想が自分の定理の一例として成り立つことを示したとしている。1970年代のヤウホの予想から数えれば、半世紀越しの解決となる。
身近な例として、ぜんまい時計のねじを一回転させる操作が挙げられている。見た目は元の位置に戻るが、内部にはエネルギー（ばねの張力）がたまっている。どの瞬間を切り取っても系は局所的に平衡にあるのに、大回りの一周では縦方向が元に戻らない。
このズレは、量子力学で知られるベリー位相（幾何学的位相）と数学的に同じ構造を持つという。つまり熱力学には、局所的には平衡でも大域的には平衡が破れる、という現象が起こり得るとしている。
Source and Image Credits: Roberts, Bryan W. “Heat as a gauge connection.” arXiv preprint arXiv:2503.08753 (2025).
